キーワードは”ちぢみ率”

高校受験を控える中学3年生の皆さんに、わずかな時間で正解を出すことができる“秒殺テクニック”を紹介していきます。

 

今回は、三角すいの“ちぢみ率”を求める問題を取り上げます（ちぢみ率というのは、本講義だけで使用する言い方です）。

例題を見てみましょう。

 

 

これが、ちぢみ率を求める問題。三角すい全体に対して、灰色の部分の小さな三角すいがどれくらい縮まっているのか、ということです。

 

これをきちんと計算しようとすると、三角すいOABCの底面を△OAB、三角すいODEFの底面を△ODEと考えて△OABと△ODEの比率を求め、CとFから底面までの距離（高さ）を比べ──という風に、とても時間がかかってしまいます。

 

ここで役立つのが、今回の秒殺テクニックです。

三角すいの内部で、一方向へ縮んだ三角すいの体積は、以下の公式で求めることができます。

 

 

全体の体積に、\(\frac{a}{A}\)、\(\frac{b}{B}\)、\(\frac{c}{C}\)をかけたものが、小さい三角すいの体積です。

この\(\frac{a}{A}\)、\(\frac{b}{B}\)、\(\frac{c}{C}\)をかけ合わせた分数が、本講義で“ちぢみ率”と呼んでいるもの。

 

ちぢみ率は、元の三角すいに対してどれくらい縮小したのかを表す分数なので、そのまま例題の答えになります。

実際に解いてみましょう。

 

 

各辺の比は、次のように表すことができます。

AO：DO＝3：2

BO：EO＝2：1

CO：FO＝4：1

よって、全体に対する三角すいODEFのちぢみ率は、以下となります。

 

 

それでは、類題で練習してみてください。

 

 

 

以下が答えになります。

 

 

Q2は縮んでいく方向が、右下の頂点Dであることに気をつけましょう。

 

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