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2020.12.07

中学生向け

【数学】三平方の定理が成り立つ三辺の比:最重要7パターン ~受験の秒殺テク(5)~

絶対におぼえておきたい直角三角形TOP7

高校受験を控える中学3年生の皆さんに、わずかな時間で正解を出すことができる“秒殺テクニック”を紹介していきます。

 

映像授業を視聴することで、より理解が深まります。

 

今回は「直角三角形TOP7」と題して、三平方の定理にまつわるお話をしていきます。

 

三平方の定理は、直角三角形の斜辺の2乗が他の辺の2乗の和に等しい、という公式です。

非常に便利ですが、二次方程式になってしまうので解答するのに時間がかかります。

 

そこで、テストによく出てくる直角三角形については暗記してしまいましょう。

ここでは、特に重要な7つのパターンをご紹介します。

 

 

こちらは非常に有名な直角三角形です。

3つの辺の比が\(3:4:5\)になっていれば、必ず直角三角形になります。

諸説ありますが、古代エジプトではこの形を使って直角を計り、ピラミッドを作ったのではないか、と言われているように昔から知られている形です。

 

整数だけで三平方の定理が成立する三辺の比のグループのことを、‟ピタゴラス数“といいます。

その中でも、\(3:4:5\)を含んだ下の①~④は必ずおぼえておきましょう。

 

 

各グループの一番大きい数字が、斜辺にあたります。

これは、とにかく暗記するしかないのですが、参考までに1つ語呂合わせを紹介します。

 

みよこ! 

強引に父さん、背後に回ってイナバウアー。

「何してんの!?」 ニコッ。

 

 

みよこちゃんというフィギュアスケートが趣味の女の子がおり、リンクで練習していると、突然お父さんが「みよこ!」と叫んで乱入してきました。

そして、みよこちゃんの背後でイナバウアーを披露。

彼女が思わず「何してんの!?」と声を上げると、お父さんはニコッと笑った…。

 

意味不明ですが(笑)、こういうおぼえ方もあるよ、という一例です。

とにかく、何とかしておぼえましょう。

これを頭に入れておけば、問題によっては瞬時に答えを出すことができます。

 

また、三平方の定理が成り立つ三辺の比の中で、平方根(ルート)が含まれるものでは、次の⑤と⑥が有名。

直角三角形の問題の中では、一番テストで使う確率が高いものです。

 

 

⑤であれば\(1:1:\sqrt{2}\) 。

⑥であれば\(1:2:\sqrt{3}\) となります。

どちらも三角定規でお馴染みの形ですね。

 

ここで注意してもらいたいのが、⑥は真ん中の2が斜辺に相当するということ。

他と順番を揃えるならば、斜辺を一番後ろに置いて\(1:\sqrt{3}:2\)とすべきなのですが、これでは語呂が悪く、おぼえにくい。

\(1:2:\sqrt{3}\) の方が、確実におぼえられますよね。

そのため、⑥のみ斜辺を真ん中に置いていることに注意しておきましょう。

 

⑦は、\(1:2\) の二辺が\(90°\)を成しているパターンで、これもよく登場します。

便利なのでぜひおぼえておいてもらいたいのですが、⑥と混同しないように気をつけてください。

こちらは最後の\(\sqrt{5}\)が斜辺です。

 

以上7つの比を頭に入れたら、次の問題に挑戦してみてください。

 

 

答えは次の通りです。

 

Q1:③のピタゴラス数 ⇒ \(x=15\)

 

Q2:②のピタゴラス数 ⇒ \(x=5\)

 

Q3:④のピタゴラス数 ⇒ \(x=25\)

 

Q4:\(1:2:\sqrt{3}\) ⇒ \(x=6、y=3\sqrt{3}\)

 

Q5:\(1:2:\sqrt{5}\) ⇒ \(x=4\sqrt{5}\)

 

 ★映像授業を視聴して、さらに理解を深めよう! 動画を観るにはここをクリック 

 

前回の記事 ⇒ 正三角形の高さと面積は5秒で出せる!

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