京都大学の過去問です。

(1)の証明は容易です。
nを7で割った余りをrとすると
　n=7q+r（qとrは整数、0≦r≦6）
と表せますので、これで証明できますね。

(2)は自分の好きな数で計算できるなら計算が簡単なn=1を代入してやろうと思うのですが、計算するとg(1)=0。。。
それならばとn=2を代入してみるとg(2)=0。。。
このままでは(2)は0点になってしまいます。
あなたならどの数を入れてみますか？是非考えてみてください。