５羽の鳩に対し、巣が４つしかなかったらどうなると思いますか？

答えは、「少なくとも１つの巣に２羽以上の鳩がいる」ことになりますね。
（「１羽だけ巣に入れない」ではなく、みんな巣に入れるようにするところに鳩たちの優しさを感じます）

一見当たり前のようなことですが、このことを鳩の巣原理または部屋割り論法といいます。

画像の問題は広島大の過去問です。

図のように正三角形を４つの小三角形に分けるとすぐに示すことができます。

　５個の点　→　５羽の鳩
　４つの小三角形　→　４つの巣

と対応させると、少なくとも１つの小三角形の中に点が２個以上存在することになります。１つの小三角形の中にある２点間の距離は必ず１以下となりますから、証明できました。