映像授業教師ブログ

柚木です。
10月のブログでは、倍数の見分け方についてふれました。

今回は、以下のことが成り立つ理由を説明します。

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7の倍数の見分け方
①（一の位をのぞく数）－（一の位×2）＝ 7の倍数　
②（一の位をのぞく数）＋（一の位×５）＝ 7の倍数　
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例えば、８７５　は7の倍数でしょうか。
①で確かめると、
８７－１０＝７７　　よって、7の倍数です。

ここで、８７５を、７７０と１０５を合わせたものと考えると、

　８７５＝７７０＋１０５
＝１０×７７＋１０５
＝１０×（８７－１０）＋１０５
＝１０×（８７－５×２）＋５×２１　…ア
＝１０×（８７－５×２）＋５×3×７

アでは、8７５の一の位が「５」なので、
１０５を「５」の21倍（５が21個分）と考えます。

このとき、下線部が（一の位をのぞく数）－（一の位×2）と
なるように変形すると、かっこの中の一の位の「５」は
2個なので、それを10倍すると20個分となり、
「５」の個数の差は1個になります。

これで、等しい式の関係を保つことがでます。

よって、後ろに足した数が7の倍数なので、下線部が
7の倍数となれば、与えられた整数は7の倍数になります。

これを、文字を使って表してみましょう。

百の位をa、十の位をb、一の位をc、とすると、
3ケタの整数は、百の位の数を100倍、十の位の数を10倍、
一の位の数を1倍して合わせればいいので、
a×100＋b×１０＋c×１　と表すことができます。

　a×100＋b×１０＋c×１　
＝１０×（a×１０＋b×１－c×2）＋ｃ×２１　…ア
＝１０×（a×１０＋b×１－c×2）＋ｃ×３×７

アのとき、かっこの中のｃは2個なので、10倍すると20個。
かっこの外のｃは21個だから、差は1個。ｃは1個のままです。

ここで、後ろの、ｃ×３×７　が7の倍数と言えるので、
下線部（一の位をのぞく数）－（一の位×2）が7の倍数となれば、
3ケタの整数　a×100＋b×１０＋c×１　も7の倍数
と言える、というわけです。

同じように、②についても、
　a×100＋b×１０＋c×１　
＝１０×（a×１０＋b×１＋c×５）－ｃ×49　…ア
＝１０×（a×１０＋b×1＋ｃ×５）－ｃ×７×７

アのとき、かっこの中のｃは5個なので、10倍すると50個。
かっこの外のｃは49個だから、差は1個。ｃは1個のままです。

ここで、後ろの、ｃ×７×７が7の倍数と言えるので、
下線部（一の位をのぞく数）＋（一の位×5）が7の倍数となれば、　
3ケタの整数a×100＋b×１０＋c×１　も7の倍数
と言える、というわけです。

少し難しいですね。

小学生のうちは、整数が7の倍数かどうかを見分けられれば
十分立派です。


このような、式を変形して、あることが成り立つことを説明する
内容は、中学2年生の「数学」で学習します。

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